Robert Bühler wurde in die bedeutende Winterthurer Industriellenfamilie Bühler-Koller hineingeboren und wuchs in gutbürgerlichen Verhältnissen auf. Er besuchte von 1915 bis 1921 das hiesige Gymnasium und studierte anschliessend bis 1928 in Genf, Berlin und Zürich Nationalökonomie. 1929 trat Bühler in die Ed. Bühler & Co. ein und war ab 1932 Mitglied der Geschäftsleitung. 1933 wählte die Freisinnige Partei ihn als Kandidat in den Stadtrat, wo er das Finanzamt übernahm. Robert Bühler setzte in seiner Zeit eine Erhöhung des Steuerfusses von 130 auf zeitweise bis zu 190 Prozent durch und hielt damit die Stadtfinanzen während der Kriegsjahre im Lot. Während des Krieges stand er zudem im Dienst der Landesverteidigung. Der leidenschaftliche Kavallerist war als Oberst im Generalstab im Einsatz.
Von 1943 bis 1952 politisierte er zusätzlich im Zürcher Kantonsrat. 1945 wurde er in den Nationalrat gewählt, was ihn 1947 dazu veranlasste, aus dem Winterthurer Stadtrat auszutreten. Von 1956 bis 1960 präsidierte er die kantonale FDP. Nach seinem Ausscheiden aus dem Nationalrat 1967 verliess er die politische Bühne und widmete sich neuen Herausforderungen in der Privatwirtschaft.