Arthur Bachmann wuchs in Winterthur-Töss auf und besuchte dort die Schule. Danach studierte er an der Universität Zürich Rechtswissenschaften und schloss 1948 mit dem Doktorexamen ab. Kurz nach seinem Studienabschluss arbeitete er als Auditor am Bezirksgericht Winterthur. Gleichzeitig engagierte er sich als Redaktor bei der Zeitung «Volksrecht».
Von 1953 bis 1960 war Bachmann ordentlicher Bezirksanwalt in Winterthur. Danach arbeitete er bis 1967 als Staatsanwalt und Ersatzrichter am Obergericht. Von 1964 bis 1967 war er zudem Präsident des Verbandes der Kantonspolizei Zürich. Ebenso war er Mitglied des Verwaltungsrats der Nordostschweizerischen Kraftwerke AG (NOK).