Joseph Bösch wurde in Ebnat im Toggenburg geboren. Er machte eine Lehre als Zimmermann und Schreiner. Von 1858 bis 1861 studierte er Architektur bei Gottfried Semper an der Eidgenössischen Technischen Hochschule (ETH) in Zürich. Anschliessend arbeitete er bis 1865 in Sempers Atelier. Dort war er unter anderem für die Bauführung des Innenausbaus des Polytechnikums (heute ETH Hauptgebäude) sowie der eidgenössischen Sternwarte verantwortlich. Danach war er bis 1869 Bauführer für die Schweizerische Nordostbahn. Es folgten Studienaufenthalte in Wien und Budapest.